什么是公理？公理是独立的什么意思？

很多朋友对于什么是公理和公理是独立的什么意思不太懂，今天就由小编来为大家分享，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

本文目录

1. 什么是公理体系
2. 公理和定律，有什么区别
3. 什么是平行公理
4. 数学界到底是如何确认公理的
5. 公理是独立的什么意思

什么是公理体系

公理体系是指在数学、逻辑等领域中以几条基本假设或公理为基础，并用严谨的演绎推理从中得出新的定理的系统。

公理体系包括如下要素：

1.公理：是公理体系的基石，指一些无需证明却必须被接受的陈述；

2.定义：对概念进行明确定义的描述；

3.推理规则：以某些已知命题来推导出其他结论的 *** 和规范；

4.定理：由公理、定义、推理法所得到的符合一定形式的命题。

因此，公理体系在某个特定领域内，通过归纳、演绎等 *** 证明其命题的真实性和有效性。在科学和哲学领域中，公理体系也是理论发展和实证研究的基础，深刻影响科学和哲学的发展进程。

公理和定律，有什么区别

1、概念：

定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论。

公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。

2、区别：

定律是描述客观世界变化规律的表达式或者文字。

公理是不需要认证的，是大家公认的，可以直接拿来用的。

定理是需要证明它是对的，才可以拿来用的。

什么是平行公理

定义:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

图例:如果a与b平行，且b与c平行，则a与c平行。

概念:平行于同一条直线的两条直线平行

证明:如果a‖b,a‖c,那么b‖c

平行公里的推论

证明:假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b,a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，两直线平行，可推出:

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为a‖b,a‖c,

所以b‖c(平行公理的推论)

数学界到底是如何确认公理的

确立一套规范的公理体系，并以此为基础进行演绎推理，是数学，尤其是现代数学的核心研究 *** 。任何一个成熟的数学理论和数学概念，之一步都是要确立它所满足的公理体系。这一 *** 是由古希腊人开创的，欧几里得在他的《几何原本》中提出了几何学研究的五条公设作为推理的前提，在此基础上推导出了一系列复杂的数学结论。随后这一公理化研究的 *** 便成为西方科学发展的核心 *** 之一，发挥出巨大的威力，甚至影响到了其他学科的发展。例如17世纪唯理论哲学家斯宾诺莎的代表作《伦理学》，就是采用了几何学中先提公设再做推理最后得结论的研究 *** 来研究哲学问题，而20世纪初期罗素等人所开创的分析哲学，也是想把数学 *** 引入到哲学分析当中。

而在现代数学的研究中，数学分支日渐庞杂，理论高度抽象，层次不断深入，公理化 *** 甚至成为了数学研究的唯一 *** 。数学研究的路径逐步确立为：对现实世界或抽象形式进行观察与总结，对已有的数学概念进行本质分析，进而抽取出一套公理体系，并在此体系下进行逻辑推演从而发展出一整套数学理论。尤其是抽象代数这一门学科的诞生，将这种 *** 发挥到极致，其他诸如拓扑学，分析学等等，也都是采用的这样一套 *** 。

那么数学家们又是如何确立公理的呢？按照层次的不同主要分为两种途径。一是针对一些最基础的数学概念，如点线面， *** ，自然数等等，我们是将一些所谓的“不证自明”的结论作为公理，这种 *** 主要集中在数理逻辑领域。二是针对抽象层次很高的数学概念，我们是来寻找一些已有的，具有共同特征的多个数学概念，总结出它们的共同特征，将此作为一套公理体系。下面就这两种途径我来详细地进行说明。

之一种途径比较容易理解，在数学发展的早期都采用的是这种途径。即有一些结论非常的显然和直观，很符合我们的感觉，我们可以利用这些结论来推导出其他结论，但是这些结论本身又很难证明，我们便将它们作为公理，例如几何学的肇始《几何原本》中的几条公理（或公设）：两个直角彼此相等，两个量如果相等那他们加上同一个量仍然相等，都属于这种情况。再比如对于自然数这个概念，我们目前采用的是皮亚诺公理系统，这一系统中的一些公理如下，任何一个自然数加1（严格的数学概念称为为自然数的后继数"successor"）还是自然数，两个自然数加一相等那这两个自然数也是相等的。再比如 *** 这个概念，我们采用的是ZFC公理系统，这一系统的一些公理如下，两个 *** ，如果含有的元素相同那这两个 *** 是相等的，两个 *** 的公共部分仍然是一个 *** ，等等。

当然，满足“非常显然和直观，但又很难证明”这样的结论有很多，那我们从中选取哪些作为公理呢？这主要是参照两个标准，一是对某个数学概念的公理体系的界定必须能清晰的说明这个数学概念的本质，不能产生歧义，更不能产生矛盾。比如自然数这个概念，它的本质就是一个一个往下列，因此我们的公理体系中会有一个自然数的后继者仍然是自然数这样一条。第二个标准就是所谓的三性：独立性，相容性与完备性，这是数理逻辑研究的领域，本文不再详细展开，大意是指公理与公理之间不能出现重复和矛盾，并且涉及该数学概念的所有真命题都可以从几条公理中找到答案。

按照这种途径确立的公理体系最著名的例子就是我们上大学都会学到的概率论。在20世纪以前，概率论的研究基本停留在用排列组合进行数数的阶段，即所谓的古典概率时期。而真正意义上的现代概率论，是从苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov，1903-1987）开始的，他利用 *** 论和测度论的工具，确立了概率论研究的几条公理，开创了公理概率论这门学科，为了阅读的方便，本文不打算引入数学符号，只用直白的语言来叙述这几条公理：

1、任何一个事件发生的概率一定介于0和1之间

2、如果一个事件包含了所有可能的结果，那么他发生的概率一定是1

3、两个事件如果没有交集，那么他们发生的概率就是二者相加。（想象一下一个球队去踢球，赢球的概率是0.5，平局的概率是0.3，输球的概率是0.2，那么这场比赛不输球的概率就是0.5+0.3）

柯尔莫哥洛夫，苏联最伟大的数学家

可以看到，这三条公理非常清晰且自然地说明了“概率”这一现象的本质，我们目前接触到的概率论的所有结论，都是从这三条公理中及其相关概念中推导出来的。

用这一途径确定公理更大的缺陷就是所谓的“不证自明”，一个结论如何是显而易见并且不需要证明呢？显而易见只是每个人的自己的主观感受，又如何做到对同一个事情每个人的感受都一样呢。正因如此，这样确定的公理在历史上引起了巨大的争议，大名鼎鼎的非欧几何，就是数学家们认为《几何原本》中第五条公设不是那么显然，甚至不一定是正确的，进而发展出的一整套和理论。同时在 *** 论的公理中，选择公理也是这种情况。

而第二种途径确立的公理相比于之一种就可靠得多。即，我们已经有了一些数学概念，这些数学概念之间有几个共同的特征，我们把这几条共同的特征总结出来，就把它们作为一套公理系统。最著名的例子就是“群论”这一数学理论。比如我们有如下的数学概念：

1、所有的整数构成一个 *** ，整数之间存在一个运算叫做加法，这个加法运算有以下性质：满足结合律；有一个整数是0，任何整数加上0还等于自己；任何一个整数加上自己的相反数就等于这个零。

2、所有的实数构成一个 *** ，实数之间存在一个运算叫做乘法，这个乘法运算满足以下性质：满足结合律；有一个实数是1，任何实数乘以1还等于自己；任何一个实数乘以自己的倒数都等于这个1

3、所有的向量构成一个 *** ，上面存在一个运算叫做加法，这个运算满足以下性质：满足结合律；向量之间存在一个运算叫加法；有一个向量是零向量，任何向量加上零向量还等于自己；任何一个向量加上和自己相反的向量就等于这个零向量。

伽罗华，（Galois，1811-1832），群论的奠基人

上面是三个不同的数学概念，但是它们之间又具有相同的特征，我们把这个相同的特征提取来。有一个 *** ，它上面存在一个运算，满足三条性质：

1、这个运算满足结合律

2、 *** 中存在一个元素，使得 *** 中任何一个元素与该元素做运算都还等于自己，这个元素称之为幺元

3、对于 *** 中的任何一个元素，都存在与之对应的另一个元素，使得二者做运算的结果是幺元。

我们把这三条性质提取出来之后，为了研究的方便，给他们一个新的名字，称为群。于是上面三条结论就是群论的三条公理，所有有关群论的理论都是从这三条公理出发的。

这个例子就很好的说明了现代数学中公理是怎么产生的，因为现代数学研究的对象越来越复杂，很多概念混杂在一起便很难研究，很多性质交错在一起乱成一团，因此我们把一些具有共同特征的数学概念放在一起，提取出这一共同特征，便构成了新的数学概念，这些共同特征就是新概念的公理体系。这样做就使得我们的研究变得简洁并且清晰，在明确的公理体系之下推导出的结论，同样也适用于那些原有的概念，进而我们对那些原有概念的认识也会提升到一个新的高度，对它们的本质的认识就更加深刻。因此公理化 *** 就成了现代数学研究的核心 ***

公理是独立的什么意思

公理独立性如下:建立公理系统的目的是推出一系列内定理。作为出发点的公理是否有多余的，这就是公理的独立性问题。公理的独立性一条公理是独立的，是指在不改变推演规则的情况下，它不能从其它公理推出。

一个公理系统是独立的，是指这个公理系统的每条公理都是独立的。对于采用公理模式的公理系统来说，以上定义是不合适的。在这种情况下的独立性应该指一个公理模式是独立的，而不是指一个公理是独立的。

好了，本文到此结束，如果可以帮助到大家，还望关注本站哦！

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